การคำนวณ - Deflection curve from BMD

     บทความนี้นำเสนอวิธีการหาการเสียรูปของคาน(Deflection) โดยคำนวณจากโมเมนต์ไดอะแกรม(BMD) 

    โดยสุดท้ายจะมีการคำนวณเปรียบเทียบระหว่างค่าที่ได้จากวิธีการที่นำเสนอ กับค่าที่ได้จากสูตรสำเร็จตามภาพด้านล่างนี้

หลักการ

     1. นำกราฟ BMD หารด้วย EI จะได้ Curvature ที่ตำแหน่งต่างๆ

     2. พื้นที่ใต้กราฟ M/EI ระหว่างจุดสองจุด คือ ค่าการเปลี่ยน slope ระหว่างสองจุดนั้น

วิธีการ

          

     1. เริ่มคำนวณโดยโดยแบ่งคานเป็นช่วงสั้น (dx)

     2. ที่จุด A ค่า deflection = 0 (yA = 0)  ค่า slope ที่จุด A เป็นค่าที่ยังไม่ทราบแน่นอน ให้ค่าเป็น 0 ไว้ก่อน (slope A = 0)

     3. คำนวณ slope จาก A ไป B โดยหาพื้นที่ใต้กราฟ M/EI  โดยเครื่องหมาย slope จะตรงข้ามกับเครื่องหมายของ M/EI   ,slopeB = slopeA+slopeAB

     4. คำนวณ ค่า y ที่ตำแหน่ง B  , yB = yA + slope*dx 

     5. ทำซ้ำในขั้นตอน 2 ถึง 4 ไปจนสุดปลายคาน

     6. ตอนนี้เราจะได้เส้นกราฟ deflection ที่มีความสัมพันธ์ระหว่างจุดถูกต้อง  แต่ตำแหน่งยังไม่ถูกต้อง

ต้องมีการคำนวณปรับแก้

     7. คำนวณปรับแก้เส้นกราฟ โดยยึดค่าที่จุด yA=0 และ yB=0  อาจใช้หลักการสามเหลี่ยมคล้าย

เริ่มคำนวณ      

พิจารณาคาน simple beam ยาว 6 ม. รับน้ำหนัก 10 kN/m  กำหนดให้ค่า E=200GPa ,I=16000cm^4

กรณีเราสามารถหาค่า deflection สูงสุดได้จากสูตร

ต่อไปเราจะลองใช้วิธีการแบบ numerical method เพื่อหาค่า deflection  ก่อนอื่นเราสร้างเส้นกราฟ BMD โดยใช้โปรแกรม MathCAD

ต่อไปเริ่มคำนวณ deflection curve ไล่ไปทีละจุด

ต่อไปลองนำค่าที่คำนวณได้มา Plot กราฟ

จะเห็นว่าเส้นกราฟยังไม่ถูกต้อง เพราที่จุดที่ x=6 ค่า deflection ต้องเป็นศูนย์  ในขั้นต่อไปเราจะคำนวณปรับแก้โดย ใช้เงื่อนไขดังกล่าว

ในที่นี้จะใช้การหมุนเส้นให้จุดปลายลงมาอยู่ที่ศูนย์  ก่อนอื่นหามุมที่ทำให้จุดปลายลงมอยู่ที่ศูนย์

เขียน rotation matrix

ลอง plot กราฟ จะเห็นว่าเส้นอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องแล้ว

หาค่า deflection สูงสุด

จะเห็นว่าค่าใกล้เคียงกับค่าที่คำนวณจากสูตรสำเร็จ โดยมีความคลาดเคลื่อนประมาณ 4.4 % สามารถทำให้ค่าใกล้เคียงได้มากขึ้นโดยการเพิ่มจุดที่คำนวณให้ถี่ขึ้น

เราสามารถเขียนในรูปแบบ function ที่เรียกใช้งานได้ ดังต่อไปนี้

link สำหรับ MathCAD file >>>>https://drive.google.com/file/d/1X4vlFEe2TjwyioRMFaCK1oJadJwu9_Pk/view?usp=sharing

     ตัวอย่างสถานการณ์ที่สามารถนำความรู้จากบทความนี้ไปใช้ได้ คือ การคำนวณ deflection ของหน้าตัด prestress แบบ pre tension ซึ่งเมื่อรวมแรง prestress เข้าไปแล้ว กราฟจะมีลักษณะดังภาพต่อไปนี้

การคำนวณ - ด้านเสถียรภาพของกำแพงกันดินแบบ L

รูปแบบการวิบัติ

• Overturning : ป้องกันโดยคอนโทรลให้ตำแหน่ง Resultant Force อยู่ในระยะบวกลบ B/4 จากศูนย์กลางฐานรากกรณีฐานรากวางบนดิน หรือ บวกลบ 3B/8 สำหรับกรณีฐานรากวางบนหิน (หรือคอนโทรล F.S. ไม่น้อยกว่า 1.5 สำหรับการเช็คที่ service load โดยที่ F.S. = Mstabilize/Mdrive )

• Bearing Capacity : ป้องกันโดยไม่ให้หน่วยแรงอัดใต้ฐานเกินหน่วยแรงแบกทานที่ยอมให้ของดินใต้ฐาน การคิดหน่วยแรงกดใช้วิธี effective area (Be = B-2*e) ซึ่งจะได้เป็นหน่วยแรงแบบ Equivalent uniform pressure ใช้ในการตรวจสอบ Bearing capacity และการทรุดตัว เท่านั้น ( ส่วนการออกแบบตัวฐานรากให้คิดการกระจายแรงโดยการรวมหน่วยแรงปกติ คือ Stress = P/A + MC/I )

• Sliding : ป้องกันโดยไม่ให้แรงดันด้านข้างมีค่ามากกว่าแรงเสียดทานใต้ฐาน ใช้  Reduction Factor 0.80 สำหรับดินทราย 0.85สำหรับดินเหนียว (หรือให้ F.S. มีค่าไม่น้อยกว่า 1.5  สำหรับการเช็คที่ service load  โดยที่ F.S. = Fstabilize/Fdrive )

แรงที่มากระทำ

• dead load (DC) : คิดตามหน่วยน้ำหนักวัสดุ

• vertical earth pressure (EV) : คิดตามหน่วยน้ำหนักวัสดุ ประมาณ 1.8-2.0 ตัน/ตร.ม.

• lateral earth pressure (EH) : ในการเช็คเสถียรภาพให้ใช้ Active Earth Pressure Coefficient (ka)

• live load surcharge (LSV ,LSH) : น้ำหนักจรใช้ค่า 0.5-1.0 ตัน/ตร.ม. ขึ้นอยู่กับสภาพการใช้งาน

• wind load (if any) (W) : กรณีมีกำแพงให้คิดแรงลมด้วย คิดค่าแรงลมอย่างน้อย 50 กก./ตร.ม. หรือตามสภาพแวดล้อม

คิดแรงดันน้ำกระทำกับกำแพงไหม?

     โดย่สมมติฐานปกติจะไม่คิดแรงดันน้ำมากระทำต่อกำแพงกันดิน  จะใช้วิธีเตรียมรูระบายน้ำที่กำแพงเพื่อไม่ให้เกิดการสะสมของน้ำจึงไม่จำเป็นต้องคิดแรงดันน้ำ

เหตุผลที่ไม่ควรนำดินเหนียวมาเป็นวัสดุถมหลังกำแพง?

• การบดอัดดินเหนียวทำได้ยาก

• เมื่อการบดอัดที่สมบูรณ์ทำได้ยาก ก็ทำให้มีแนวโน้มจะเกิดโพรงปริมาณมากในเนื้อดิน ทำให้เกิดการทรุดตัวมากในภายหลัง

• ดินเหนียวบางชนิดมีการเปลี่ยนแปลงปริมาตรสูง เมื่อแห้งก็จะหดตัวจนเกิดรอยแตกกว้างที่ผิวดิน เมื่ออิ่มตัวด้วยน้ำก็จะพองตัว

สัดส่วนโดยประมาณของ ความสูงต่อความยาวฐาน ( ไม่รวมกรณีมีแรงลม )

ลองพิจารณเสถียรภาพต่อการ overturning

พิจารณาฝั่ง drive จะเห็นว่าแรงที่มีผลให้โครงสร้างล้มคว่ำคือ EH และ LSH

พิจารณาฝั่ง stabilize จะเห็นว่าแรงที่ต้านทานการพลิกคว่ำคือ EV

จากนิยามของอัตราส่วนความปลอดภัย 

แทนค่าสมการจะได้

ใช้ MathCAD ช่วยลดรูปสมการฝั่งซ้าย จะได้

จัดสมการใหม่ ให้อยู่ในรูป function ของ Hw

สมมติค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ดังนี้

กำหนดค่าตัวแปร

ใช้โปรแกรม MathCAD ช่วยหาคำตอบ

ลองหาอัตราส่วนระหว่างความกว้างฐานต่อความสูง

จะเห็นว่าที่ความสูง 1 ม. ต้องการความกว้างฐาน 55% ของความสูง  อัตราส่วนจะค่อยๆลดลงตามความสูง  จนที่ความสูง 8 เมตร จะต้องการความกว้างฐาน 42.8% ของความสูง

ถ้า plot กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง ความสูงในแกนตั้ง กับความกว้างฐานในแกนนอน จะได้ดังนี้

ต่อไปลองพิจารณเสถียรภาพต่อการเคลื่อนตัวด้านข้าง

พิจารณาฝั่ง drive จะเห็นว่าแรงที่มีผลให้โครงสร้างเคลื่อนตัวคือ EH และ LSH

พิจารณาฝั่ง stabilize จะเห็นว่าแรงที่ต้านทานการเคลื่อนที่คือ EHP และ f

จากนิยามของอัตราส่วนความปลอดภัย 

แทนค่าสมการจะได้

ใช้ MathCAD ช่วยลดรูปสมการฝั่งซ้าย จะได้

จัดสมการใหม่ ให้อยู่ในรูป function ของ Hw

สมมติค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ดังนี้

ใช้โปรแกรม MathCAD ช่วยหาคำตอบ

ลองหาอัตราส่วนระหว่างความกว้างฐานต่อความสูง

จะเห็นว่าที่ความสูง 1 ม. และ 2 ม. ผลลัพธ์มีค่าติดลบแสดงว่าแรงผลักทั้งหมดไม่ชนะแรง Passive ที่ต้านทานอยู่  ที่ระดับ 2 ม. จะเริ่มต้องการแรงเสียดทานมาช่วย โดยความกว้างที่ต้องการมีค่า 12.7% ของความสูง  และค่าจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จนที่ความสูง 8 เมตร จะต้องการ ความกว้างฐาน 48.9% ของความสูง

ถ้า plot กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง ความสูงในแกนตั้ง กับความกว้างฐานในแกนนอน โดยPlot ลงในกราฟเดียวกับ กรณี Overturning จะได้ดังนี้

จากกราฟด้านบน จะเห็นว่าเกิดจุดตัดกราฟที่ความสูง ประมาณ 6.435 ม.  ความสูงที่ต่ำกว่าความสูงนี้พฤติกรรม overturning จะเป็นตัว control ความต้องการความกว้างของฐาน  ส่วนความสูงที่มากกว่า 6.435 ม. พฤติกรรม sliding จะเป็นตัว control

ผลลัพธ์ดังกล่าวนี้เป็นจริงเฉพาะค่าพารามิเตอร์ที่ใช้ในการคำนวณ ณ ที่นี้เท่านั้น  ไม่สามารถใช้อ้างอิงได้ในกรณอื่นๆซึ่งต้องพิจารณาจากคุณสมบัติของดินเป็นสำคัญ  แต่อย่างน้อยก็ทำให้เรารู้แนวโน้มว่าผลลัพธ์จะประมาณเท่าไร

link ไฟล์ MathCAD >>>  https://drive.google.com/file/d/1aWzrdcRO_z-i6LMRt_AVuOLPd7BGnlZF/view?usp=sharing

SAP2000 - การกำหนดโหลดแบบ Surface Pressure โดยใช้ Joint Pattern

 ในตัวอย่างนี้แสดงการโมเดล Tank น้ำ ขนาด 6x6x6 m   ตามภาพต่อไปนี้

จะเห็นว่าในโมเดลเราจะจัดแกน Local 3 ของแต่ละด้าน ให้มีทิศทางเข้าหาด้านใน Tank   ต่อไปเราจะทำการ Define Joint Pattern   ไปที่ Define > Joint Pattern จะปรากฎหน้าต่างตามภาพ

จากนั้นให้เราเลือก Joint ทั้งหมดใน Model แล้วไปที่ Assign Joint Pattern  จะปรากฎหน้าต่างต่อไปนี้

ค่า z coordinate ให้ใส่ค่าพิกัดแกน z ที่ค่า Pressure เป็นศูนย์  คือระดับน้ำสูงสุดนั่นเอง  ส่วนค่า unit weight ให้ใส่เป็น 1 ไปก่อน   และ Restriction ให้เลือก Zero negative value คือ ถ้าค่าติดลบให้ใช้ค่าศูนย์เมื่อกด ok แล้ว โปรแกรมจะแสดงค่า joint pattern ตามภาพต่อไปนี้

ต่อไปให้เราเลือก shell ทั้งหมด แล้วไปที่ Assign > Area loads > Surface pressure (All) จะปรากฎหน้าต่างตามภาพต่อไปนี้

เมื่อกด ok โปรแกรมจะแสดง pressure load ที่เราใส่ ตามภาพต่อไปนี้

จากภาพด้านบน ลูกศรน้ำเงินแสดงทิศทางของแรงดัน  ส่วนค่าตัวเลขที่แสดงเป็นค่าแรงดัน  จะเห็นว่าที่ปากถังค่าแรงดันเป็นศูนย์ ส่วนที่ก้นถังมีค่าเป็น 60  ถ้าเราแสดง contour ของ load โดยไปที่ display > show object loads > area  เลือก surface pressure contour ตามภาพด้านล่าง

เมื่อกด ok โปรแกรมจะแสดง contour ของ load ดังภาพต่อไปนี้

SAP2000 - การจำลองพฤติกรรม Composite

เราสามารถใช้การกำหนด insertion point เพื่อช่วยในการจำลองพฤติกรรม composite  ลองดูตามภาพตัวอย่างต่อไปนี้

ตามภาพด้านบน เราโมเดล 2 ระบบ เปรียบเทียบกัน  ทางด้านซ้ายมือเป็นระบบที่ centroid อยู่ร่วมศูนย์กันทั้ง Frame และ Shell Element  ส่วนระบบทางด้านขวาเป็นโมเดลที่ Shell วางอยู่บนหลัง Frame โดยใช้ insertion point แบบ top center สำหรับ Frame และใช้ Joint offset สำหรับ Shell element

สำหรับการใช้งาน joint offset กับ shell element ให้เราเลือกวัตถุ shell ก่อน แล้วไปเลือกคำสั่งที่ Tab Assign > Area > Area thickness overwrites(Shell) จะปรากฎหน้าต่างตามภาพต่อไปนี้

เราจะใส่ Load เป็น uniform load แนวดิ่ง ขนาด 1 kN/m ตามภาพต่อไปนี้

ลองรันโปรแกรมแล้วดูผล bending moment ในคาน จะเห็นว่าค่ามีความแตกต่างกัน ตามภาพต่อไปนี้

และภาพต่อไปนี้แสดงผล deflection ซึ่งแสดงความแตกต่างอย่างเห็นได้ชัด

ซึ่งความแตกต่างทั้งหมดนี้เป็นผลมาจาก โมเดลทางฝั่งขวามีพฤติกรรมแบบ composite นั่นเอง

SAP2000 - ผลของ Insertion Point ต่อแรงภายในสำหรับ Frame Element

      พิจารณา Beam 3 ตัว ที่สร้างจาก Frame Element  โดยกำหนด insertion point ที่แตกต่างกัน ดังนี้ 

กำหนด load แนวดิ่ง เป็น uniform load ขนาด 1 kN/m และ กำหนดแรงแนวแกนเป็น Point load ขนาด 1 kN แสดงดังภาพต่อไปนี้

ลองรันโปรแกรมแล้วลองเปรียบเทียบผลของแรงภายใน  ขั้นแรกดู Bending moment ที่เกิดจากแรงแนวดิ่ง จะเห็นว่ามีค่าไม่แตกต่างกัน ตามภาพต่อไปนี้

คราวนี้ลองดู Bending moment ที่เกิดจากแรงแนวดิ่งร่วมกับแนวแกน จะพบว่ามีความแตกต่างกัน ตามภาพต่อไปนี้

ค่าโมเมนต์ดัดที่เปลี่ยนไปนี้เป็นส่วนที่เกิดจากแรงแนวแกน ซึ่งในกรณีปกติที่เรากำหนดจุด insertion point ให้อยู่ที ่centroid เราจะไม่เห็นความแตกต่างตรงนี้  แต่เมื่อใดที่เรากำหนดจุด insertion point เป็นจุดอื่นๆ โปรแกรมก็จะคำนวณผลของการเยื้องศูนย์ที่เกิดขึ้นด้วย  โดยการเยื้องศูนย์ที่เกิดขึ้นแสดงตามภาพต่อไปนี้

จากภาพด้านบนระยะเยื้องศูนย์มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความลึกคาน กรณีนี้คานลึก 60 cm ดังนั้นระยะเยื้องศูนย์มีค่า 30 cm  สามารถคำนวณโมเมนต์ที่เกิดจากการเยื้องศูนย์ได้เท่ากับ 0.30x1 = 0.3 kN-m

นำค่านี้ไปเทียบกับค่าในโปรแกรม ซึ่งค่า bending moment ที่เกิดจากแรงแนวแกนอย่างเดียว แสดงตามภาพต่อไปนี้ 

นั่นเป็นสาเหตุที่เกิดความแตกต่างของค่า bending moment เมื่อดูผลรวมระหว่างแรงแนวดิ่งกับแรงแนวแกน