การคำนวณ inverse matrix โดยใช้วิธี gaussian elimination

      ก่อนอื่นลองใช้ MathCAD ช่วยหา Inverse ของ Matrix 3x3 ดังนี้

     ต่อไปลองใช้วิธี gaussian elimination ในการหา Inverse matrix เริ่มโดยสร้าง Augmented matrix โดยเอา Identity matrix มาต่อกับ matrix สัมประสิทธิ์ ดังนี้

     ต่อไปเราจะใช้วิธีการตามแบบ gaussian elimination เพื่อทำให้ matrix สัมประสิทธิ์กลายเป็น Identity matrix

     เริ่มโดยทำให้ค่า -1 ในตัวแรกของแถวที่ 2 เป็นศูนย์

      ต่อไปทำให้ค่า 2 ในตัวแรกของแถวที่ 3 เป็นศูนย์

     ต่อไปทำให้ค่า -3.5 ในตัวที่ 2 ของแถวที่ 3 เป็นศูนย์

     ต่อไปทำให้ค่า 1 ในตัวที่ 2 ของแถวที่ 1 เป็นศูนย์

     ต่อไปทำให้ค่า 3 ในตัวที่ 3 ของแถวที่ 1 เป็นศูนย์

     ต่อไปทำให้ค่า 7 ในตัวที่ 3 ของแถวที่ 2 เป็นศูนย์

     ต่อไปทำให้ค่า 5.144 ในตัวที่ 1 ของแถวที่ 1 มีค่าเป็น 1

     ต่อไปทำให้ค่า -0.735 ในตัวที่ 2 ของแถวที่ 2 มีค่าเป็น 1

     ต่อไปทำให้ค่า 1.286 ในตัวที่ 3 ของแถวที่ 3 มีค่าเป็น 1

     ตอนนี้เราได้ inverse matrix เรียบร้อยแล้ว

การคำนวณ แก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยวิธี Gaussian elimination

     การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่จำนวนตัวแปร 2 หรือ 3 ตัว เราอาจจะสามารถใช้วิธีย้ายสมการและการแทนค่าในสมการ เพื่อหาคำตอบได้ โดยไม่ยุ่งยากนัก แต่หากจำนวนตัวแปรมีหลายตัวมากขึ้นการใช้วิธแทนค่าสมการจะยุ่งยากมาก  เราจึงใช้ระบบ Matrix ในการแก้ปัญหา ซึ่งการแก้ปัญหาโดยระบบ Matrix ก็มีหลายวิธีการ หนึ่งในนั้นคือวิธี Gaussian elimination ซึ่งเป็นวิธีที่เรียบง่าย จะว่าไปก็คล้ายกับการแทนค่าสมการ แต่เราจะทำเป็นระบบ  

     หลักการของวิธี Gaussian elimination คือ ทำให้ Matrix กลายเป็น Upper triangular matrix โดยใช้วิธีการดำเนินการที่ละคู่ของแถว ลองดูตามตัวอย่าง สมการ 3 ตัวแปร ต่อไปนี้

     เขียนในรูป Matrix

     

     สร้าง Augmented Matrix เพื่อเตรียมดำเนินการ โดยนำ vector ค่าคงที่ มาใส่เป็น column สุดท้ายของ matrix สัมประสิทธิ์

     เริ่มดำเนินการโดยทำให้ ค่าแรกของrow ที่ 2 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (3/-1)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 2 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 1  (จะเห็นว่าค่า factor ก็คือค่าตัวแรกของแถวที่ 1 หารด้วยค่าตัวแรกของแถวที่ 2 และคูณด้วย -1)

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 1

     ขั้นที่ 2 ทำค่าแรกของ row ที่ 3 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (3/2)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 3 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 1  

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 2

     ขั้นที่ 3 ทำค่าที่ 2 ของ row ที่ 3 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (4/-3.5)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 3 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 2

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 3  

    แตก augmented matrix กลับไปอยู่ในรูปสมการ จะเห็นว่า matrix สัมประสิทธิ์ กลายเป็น upper triangular matrix เรียบร้อยแล้ว

      ขั้นตอนต่อไปเรียกว่าการแทนค่าย้อนกลับ (Backward substitution)  โดยไล่มากจากแถวล่างสุดซึ่งเหลือตัวแปรเดียว

     หาตัวแปร y จากแถวที่ 2

     หาตัวแปร x จากแถวที่ 1

     เป็นอันว่าเสร็จสิ้นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

     บางตำรานิยามกระบวนการของวิธี Gaussian Elimination ไว้แค่เสร็จสิ้นขั้นตอนทำ upper triangular matrix  แต่เมื่อรวมกระบวนการ Backward substitution เข้าไปด้วยจะเรียกว่า Gauss-Jordan Elimination

     ลองตรวจคำตอบ โดยให้โปรแกรม MathCAD ช่วยหาคำตอบ โดยใช้ inverse ของ matrix สัมประสิทธิ์ คุณกับ vector ของค่าคงที่

 

การคำนวณ หมุนค่าพิกัดใน 3 มิติ

     เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจ ในเบื้องต้น พิจารณาในระบบ 2 มิติ ก่อน เมื่อเข้าใจหลักการแล้วจึงนำไปปรับใช้ในระบบ 3 มิติ

     ให้จุด P=(x,y) เป็นจุดพิกัดบนระนาบ x,y 

     ต้องการหมุนพิกัดของจุดนี้รอบ origin เป็นมุม 𝜃 ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ลักษณะตามภาพ

     เขียนสมการสำหรับพิกัดบนแกนใหม่ x' - y' ได้ดังนี้

     จัดรูปใหม่ในฟอร์มของ matrix

     โดยที่ matrix สัมประสิทธ์  เรียกว่า transformation matrix  แปลงพิกัดจาก x-y เป็น x'-y'

     หากเราจัดรูปของ transformation matrix ใหม่ โดยเปลี่ยน sin ให้เป็น cos  จากความสัมพันธ์ จะได้ฟอร์มดังนี้

     จะเห็นว่า row แรกของ transformation matrix คือ unit direction vector ของ แกน x'  และrowที่ 2 คือ unit direction vector ของแกน y'  เขียนเป็นรูปได้ดังนี้

     

คราวนี้ลองพิจารณาการหมุน ตามเข็มนาฬิกา ตามภาพต่อไปนี้

    สามารถเขียน transformation matrix ได้ดังนี้

     จะเห็นว่า transformation matrix ของกรณีหมุนตามเข็มนาฬิกา มีค่าเท่ากับ Inverse ของ กรณีหมุนทวนเข็มนาฬิกา  ในที่นี้ให้โปรแกรม MathCAD ช่วยหา Inverse ซึ่งได้ผลดังนี้

    ในทำนองเดียวกันสำหรับกรณี 3 มิติ  เราสามารถเขียน transformation matrix ในรูปแบบของ unit direction vector ได้ดังนี้

     และสมการการแปลงพิกัดใน 3 มิติ เขียนได้ดังนี้

     ทักษะการคำนวณนี้สามารถนำไปประยุกย์ใช้กับการคำนวณพิกัดในงานควบคุมการหล่อคานสะพานระบบ segmental box girder

     ไฟล์ตัวอย่างการแปลงพิกัด-2D

>>>>> https://drive.google.com/file/d/1b50fVa2xXBlCy4rVBacEoGoie-AI1D5Z/view?usp=sharing

  

การคำนวณ พิกัดในระนาบ 3 มิติ

     มีหลายวิธีที่สามารถใช้แก้ปัญหานี้ แต่ในที่นี้เสนอวิธีการแบบระบบสมการเชิงเส้น

     ให้ P1=(x1,y1,z1) ,P2=(x2,y2,z2) ,P3=(x3,y3,z3) เป็นพิกัดของจุดทั้ง 3 จุดบนระนาบ โดยที่จุดทั้งสามนี้ไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

     สามารถเขียนสมการของระนาบได้ดงนี้

     โดยที่ a ,b ,c และ d เป็นค่าคงที่  ให้ d เป็นจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์

     ในกรณีนี้ใช้ Cramer's rule ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น  โดยที่ให้สัญลักษณ์ D แทน determinant ของ matrix สัมประสิทธิ์

     

     เราสามารถหาค่าคงที่ a ,b และ c โดยนำ vector ค่าคงที่ d ไปแทนใน column ของ matrix สัมประสิทธ์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกับค่าคงที่ หาค่าdeterminant แล้วหารด้วย D  ( เช่น ถ้าจะหาค่า a ก็นำ d ไปแทนที่ column ที่ 1 ของ matrix สัมประสิทธิ์ แล้วหาค่า determinant แล้วนำมาหารด้วย d เป็นต้น )  สามารถเขียนในรูปสมการได้ดังนี้

     

     เมื่อได้ค่าคงที่แล้ว สามารถไปคำนวณพิกัดบน plane ได้ โดยเเทนค่าในสมการระนาบเพื่อหาค่าพิกัดที่ต้องการต่อไป

     วิธีนี้คำนวณได้ง่ายแต่มีข้อเสียคือ ไม่สามารถคำนวณ plane ที่ผ่าน origin ได้  เพราะเมื่อ plane ผ่านพิกัด 0,0,0 จะทำให้ค่า determinant ของ matrix สัมประสิทธิ์มีค่า 0 ทำให้หาคำตอบไม่ได้ ในทางปฏิบัติให้เลี่ยงเหตุการณ์นี้โดยใส่ค่าจำนวนน้อยๆ เช่น 0.00001,0,0 เป็นต้น

     การคำนวณนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในงานวิศวกรรม เช่น การคำนวณเพื่อควบคุมการหล่อคานสะพานระบบ segmental box girder เป็นต้น

     link ไฟล์ตัวอย่างการคำนวณ >>> https://drive.google.com/file/d/1GVBesNL4mYGVSsm63b4btvsfbmgQa95x/view?usp=sharing

AutoCAD - ImageFrame - เส้นขอบรูปภาพ

Imageframe พารามิเตอร์

     โดยปกติเมื่อเราแทรกรูปภาพเข้าในแบบ  เราจะเห็นเส้นขอบของรูปด้วย ซึ่งบางครั้งเราไม่ต้องการจะ

แสดงเส้นขอบนี้  ค่าพารามิเตอร์ IMAGEFRAME เป็นตัวควบคุมการแสดงผลเส้นขอบนี้  ตั้งค่าเป็น 1 จะ

แสดงเส้นขอบ ตั้งค่า 0 จะไม่แสดงเส้นขอบ

ปัญหา ตั้งค่า IMAGEFRAME เป็น 0 แล้ว เส้นขอบไม่หายไป

     สาเหตุของปัญหานั้นไม่แน่ชัดว่าเกิดขึ้นได้อย่างไร แต่แนวทางแก้ไขมีดังต่อไปนี้

     1. ใน Model space ถ้าค่า IMAGEFRAME เป็น 0 อยู่  ให้เปลี่ยนกลับมาเป็น 1 ก่อน จากนั้นเปลี่ยน

เป็น 0 อีกครั้ง

     2. ถ้ารูปนั้นอยู่ในไฟล์ xref อีกทีหนึ่ง ให้ตามไปเปลี่ยนค่าในไฟล์ xref ด้วย

งานวิศวกรรมโครงสร้าง - ความรู้ทั่วไป - วัสดุโครงสร้าง

วัสดุที่นำมาทำโครงสร้าง

      โครงสร้างที่เราพบเห็นได้ทั่วไปมักจะทำมาจากวัสดุ เหล็กและคอนกรีต  ซึ่งก็มีให้เลือกใช้ทั้ง

โครงสร้างเหล็กล้วนๆ หรือเรียกว่าโครงสร้างเหล็กรูปพรรณ  และยังมีโครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็ก และ

โครงสร้างคอนกรีตอัดแรงให้เลือกใช้ โดยการเลือกใช้โครงสร้างแต่ละแบบนั้นก็ขึ้นอยู่กับความเหมาะสม

ซึ่งโครงสร้างแต่ละแบบจะมีข้อดีข้อเสียแตกต่างกันไป

 
      โครงสร้างเหล็ก มีข้อดีคือ เหล็กเป็นวัสดุที่มีกำลังมาก ทำให้ใช้ปริมาณวัสดุน้อย น้ำหนักโครงสร้าง

น้อย สามารถเชื่อมประกอบได้ น้ำหนักเบาจึงขนย้ายง่าย ก่อสร้างได้เร็วเพราะไม่ต้องรอเวลาเพื่อพัฒนา

กำลังเหมือนคอนกรีต  โครงสร้างเหล็กยังมีความเป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมมากกว่าคอนกรีต เพราะใน

กระบวนการผลิตเหล็กจะปล่อย Co2 น้อยกว่าการผลิตคอนกรีต ส่วนข้อเสียคือ เหล็กมีราคาแพง

   
     โครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็ก มีข้อดี คือ คอนกรีตเป็นวัสดุก่อสร้างที่มีราคาถูก เเต่เมื่อนำมาใช้งาน

เป็นโครงสร้างจำเป็นต้องนำเหล็กมาเสริมความแข็งแรง กลายเป็นคอนกรีตเสริมเหล็ก ซึ่งมีราคาต่ำ

โครงสร้างเหล็กมาก แต่มีข้อเสียคือ คอนกรีตเป็นวัสดุที่มีกำลังน้อย ทำให้ต้องใช้คอนกรีตปริมาณ

มากเพื่อทำเป็นโครงสร้างที่มีความแข็งแรง เป็นผลให้โครงสร้างมีน้ำหนักมากต้องการฐานรากขนาด

ใหญ่กว่า  และเนื่องจากน้ำหนักที่มากนี้เองทำให้ไม่สามารถทำโครงสร้างให้มีช่วงคานยาวมากๆได้ อีก

ทั้งในการก่อสร้างยังต้องการระบบนั่งร้านที่แข็งแรงจำนวนมากเพื่อรองรับน้ำหนักตอนคอนกรีตยังไม่แข็ง

ตัว เมื่อคอนกรีตแข็งตัวแล้วยังต้องรอระยะเวลาในการถอดแบบ ซึ่งทำให้การทำงานล่าช้ากว่าโครงสร้าง

เหล็ก


     โครงสร้างคอนกรีตอัดแรง  เทคนิคการอัดแรงในโครงสร้างช่วยให้เราใช้คุณสมบัติการรับกำลังอัด

ของคอนกรีตได้มากขึ้น การอัดแรงช่วยลดการแตกร้าวของหน้าตัดทำให้หน้าตัดคานคอนกรีตมี

ประสิทธิภาพสูงขึ้นกว่าคานคอนกรีตเสริมเหล็กธรรมดาประมาณ 2.0-2.8 เท่า ขึ้นกับปริมาณการอัดแรง

ซึ่งก็สามารถช่วยให้โครงสร้างคอนกรีตพัฒนาไปได้ไกลมากขึ้น ทุกวันนี้เราจะเห็นการใช้งานแผ่นพื้นอัด

แรงได้ทั่วไป รวมถึงคานสะพานคอนกรีตอัดแรงซึ่งมีให้เห็นตั้งแต่ช่วงสะพาน 10 ม. ถึง 100 ม.

   

กำลังของวัสดุ

เหล็กโครงสร้าง

     สำหรับเหล็กรูปพรรณ โดยทั่วไปมักใช้ เกรด SS400 เป็นเหล็กโครงสร้างเกรดธรรมดา Fy=235MPa 

,Fu=400MPa  จะสะดวกในการหาซื้อ  แต่หากเป็นเกรดที่สูงกว่ามักจะไม่มีสต็อกต้องสั่งผลิต

คอนกรีต

     เป็นที่ทราบกันดีว่าคอนกรีตมีคุณสมบัติเด่นด้านการรับแรงอัด ส่วนการรับแรงดึงนั้นรับได้น้อยโดยมี

ค่ากำลังรับแรงดึงประมาณ 10 % ของกำลังรับแรงอัด  ส่วนเหล็กมีคุณสมบัติด้านกำลังดี มีความแข็งแรง

ทั้งกำลังรับแรงดึงและกำลังรับแรงอัด

     โดยคอนกรีตที่ใช้โดยทั่วไปจะมีกำลังประมาณ 25-35 MPa สำหรับโครงสร้าง คสล. และมักจะใช้

กำลัง 35 MPa ขึ้นไป สำหรับคอนกรีตอัดแรง

เหล็กเสริมคอนกรีต

     ส่วนเหล็กเสริมคอนกรีตที่ใช้นั้นมีหลายเกรด ถ้าเป็นเหล็กข้ออ้อยส่วนใหญ่ มักใช้ เกรด SD40 และมี

บ้างที่ใช้ SD50  ซึ่งการใช้เหล็กที่มีกำลังสูงทำให้ประหยัดเนื่องใช้ปริมาณเหล็กน้อย

ลวดอัดแรง

     ส่วนทางด้านลวดอัดแรงที่ใช้ในงานคอนกรีตอัดแรงนั้น ก็มีหลายเกรดเช่นกัน แต่มักใช้เกรด 1860

Low Relaxation ซึ่งถ้าเทียบกำลังของลวดอัดแรงเกรด 1860 กับเหล็ก SD40 จะเห็นว่าลวดอัดแรงมี

กำลังสูงกว่าประมาณ 4 เท่า

ราคาของวัสดุ

     ราคาคอนกรีตถูกว่าเหล็กมาก โดยคอนกรีตมีราคาประมาณ 1800-2500 บาท/ลบ.ม. แล้วแต่กำลังและ

ส่วนผสม ซึ่งถ้าคิดเป็นราคาต่อกิโลกรัมจะมีค่า 1.8 - 2.5 บาท/กิโลกรัม  ส่วนราคาเหล็กนั้น ไม่ว่าจะเป็น

เหล็กรูปพรรณหรือเหล็กเสริมคอนกรีตราคาก็จะอยู่ที่ประมาณ 24 บาท/กิโลกรัม  หรือถ้าคิดเป็นราคาต่อ

ปริมาตร ราคาของเหล็กจะอยู่ที่ 188,496 บาท/ลบ.ม.  จะเห็นว่าราคาเหล็กสูงกว่า คอนกรีตประมาณ 10

เท่า