การคำนวณ แก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยวิธี Gaussian elimination

     การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่จำนวนตัวแปร 2 หรือ 3 ตัว เราอาจจะสามารถใช้วิธีย้ายสมการและการแทนค่าในสมการ เพื่อหาคำตอบได้ โดยไม่ยุ่งยากนัก แต่หากจำนวนตัวแปรมีหลายตัวมากขึ้นการใช้วิธแทนค่าสมการจะยุ่งยากมาก  เราจึงใช้ระบบ Matrix ในการแก้ปัญหา ซึ่งการแก้ปัญหาโดยระบบ Matrix ก็มีหลายวิธีการ หนึ่งในนั้นคือวิธี Gaussian elimination ซึ่งเป็นวิธีที่เรียบง่าย จะว่าไปก็คล้ายกับการแทนค่าสมการ แต่เราจะทำเป็นระบบ  

     หลักการของวิธี Gaussian elimination คือ ทำให้ Matrix กลายเป็น Upper triangular matrix โดยใช้วิธีการดำเนินการที่ละคู่ของแถว ลองดูตามตัวอย่าง สมการ 3 ตัวแปร ต่อไปนี้

     เขียนในรูป Matrix

     

     สร้าง Augmented Matrix เพื่อเตรียมดำเนินการ โดยนำ vector ค่าคงที่ มาใส่เป็น column สุดท้ายของ matrix สัมประสิทธิ์

     เริ่มดำเนินการโดยทำให้ ค่าแรกของrow ที่ 2 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (3/-1)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 2 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 1  (จะเห็นว่าค่า factor ก็คือค่าตัวแรกของแถวที่ 1 หารด้วยค่าตัวแรกของแถวที่ 2 และคูณด้วย -1)

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 1

     ขั้นที่ 2 ทำค่าแรกของ row ที่ 3 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (3/2)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 3 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 1  

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 2

     ขั้นที่ 3 ทำค่าที่ 2 ของ row ที่ 3 ให้เป็นศูนย์  โดยนำ factor (4/-3.5)*(-1) คูณกับทั้งแถวของแถวที่ 3 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 2

     ผลลัพธ์ของ augmented matrix เมื่อผ่านขั้นที่ 3  

    แตก augmented matrix กลับไปอยู่ในรูปสมการ จะเห็นว่า matrix สัมประสิทธิ์ กลายเป็น upper triangular matrix เรียบร้อยแล้ว

      ขั้นตอนต่อไปเรียกว่าการแทนค่าย้อนกลับ (Backward substitution)  โดยไล่มากจากแถวล่างสุดซึ่งเหลือตัวแปรเดียว

     หาตัวแปร y จากแถวที่ 2

     หาตัวแปร x จากแถวที่ 1

     เป็นอันว่าเสร็จสิ้นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

     บางตำรานิยามกระบวนการของวิธี Gaussian Elimination ไว้แค่เสร็จสิ้นขั้นตอนทำ upper triangular matrix  แต่เมื่อรวมกระบวนการ Backward substitution เข้าไปด้วยจะเรียกว่า Gauss-Jordan Elimination

     ลองตรวจคำตอบ โดยให้โปรแกรม MathCAD ช่วยหาคำตอบ โดยใช้ inverse ของ matrix สัมประสิทธิ์ คุณกับ vector ของค่าคงที่

 

การคำนวณ หมุนค่าพิกัดใน 3 มิติ

     เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจ ในเบื้องต้น พิจารณาในระบบ 2 มิติ ก่อน เมื่อเข้าใจหลักการแล้วจึงนำไปปรับใช้ในระบบ 3 มิติ

     ให้จุด P=(x,y) เป็นจุดพิกัดบนระนาบ x,y 

     ต้องการหมุนพิกัดของจุดนี้รอบ origin เป็นมุม 𝜃 ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ลักษณะตามภาพ

     เขียนสมการสำหรับพิกัดบนแกนใหม่ x' - y' ได้ดังนี้

     จัดรูปใหม่ในฟอร์มของ matrix

     โดยที่ matrix สัมประสิทธ์  เรียกว่า transformation matrix  แปลงพิกัดจาก x-y เป็น x'-y'

     หากเราจัดรูปของ transformation matrix ใหม่ โดยเปลี่ยน sin ให้เป็น cos  จากความสัมพันธ์ จะได้ฟอร์มดังนี้

     จะเห็นว่า row แรกของ transformation matrix คือ unit direction vector ของ แกน x'  และrowที่ 2 คือ unit direction vector ของแกน y'  เขียนเป็นรูปได้ดังนี้

     

คราวนี้ลองพิจารณาการหมุน ตามเข็มนาฬิกา ตามภาพต่อไปนี้

    สามารถเขียน transformation matrix ได้ดังนี้

     จะเห็นว่า transformation matrix ของกรณีหมุนตามเข็มนาฬิกา มีค่าเท่ากับ Inverse ของ กรณีหมุนทวนเข็มนาฬิกา  ในที่นี้ให้โปรแกรม MathCAD ช่วยหา Inverse ซึ่งได้ผลดังนี้

    ในทำนองเดียวกันสำหรับกรณี 3 มิติ  เราสามารถเขียน transformation matrix ในรูปแบบของ unit direction vector ได้ดังนี้

     และสมการการแปลงพิกัดใน 3 มิติ เขียนได้ดังนี้

     ทักษะการคำนวณนี้สามารถนำไปประยุกย์ใช้กับการคำนวณพิกัดในงานควบคุมการหล่อคานสะพานระบบ segmental box girder

     ไฟล์ตัวอย่างการแปลงพิกัด-2D

>>>>> https://drive.google.com/file/d/1b50fVa2xXBlCy4rVBacEoGoie-AI1D5Z/view?usp=sharing

  

การคำนวณ พิกัดในระนาบ 3 มิติ

     มีหลายวิธีที่สามารถใช้แก้ปัญหานี้ แต่ในที่นี้เสนอวิธีการแบบระบบสมการเชิงเส้น

     ให้ P1=(x1,y1,z1) ,P2=(x2,y2,z2) ,P3=(x3,y3,z3) เป็นพิกัดของจุดทั้ง 3 จุดบนระนาบ โดยที่จุดทั้งสามนี้ไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

     สามารถเขียนสมการของระนาบได้ดงนี้

     โดยที่ a ,b ,c และ d เป็นค่าคงที่  ให้ d เป็นจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์

     ในกรณีนี้ใช้ Cramer's rule ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น  โดยที่ให้สัญลักษณ์ D แทน determinant ของ matrix สัมประสิทธิ์

     

     เราสามารถหาค่าคงที่ a ,b และ c โดยนำ vector ค่าคงที่ d ไปแทนใน column ของ matrix สัมประสิทธ์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกับค่าคงที่ หาค่าdeterminant แล้วหารด้วย D  ( เช่น ถ้าจะหาค่า a ก็นำ d ไปแทนที่ column ที่ 1 ของ matrix สัมประสิทธิ์ แล้วหาค่า determinant แล้วนำมาหารด้วย d เป็นต้น )  สามารถเขียนในรูปสมการได้ดังนี้

     

     เมื่อได้ค่าคงที่แล้ว สามารถไปคำนวณพิกัดบน plane ได้ โดยเเทนค่าในสมการระนาบเพื่อหาค่าพิกัดที่ต้องการต่อไป

     วิธีนี้คำนวณได้ง่ายแต่มีข้อเสียคือ ไม่สามารถคำนวณ plane ที่ผ่าน origin ได้  เพราะเมื่อ plane ผ่านพิกัด 0,0,0 จะทำให้ค่า determinant ของ matrix สัมประสิทธิ์มีค่า 0 ทำให้หาคำตอบไม่ได้ ในทางปฏิบัติให้เลี่ยงเหตุการณ์นี้โดยใส่ค่าจำนวนน้อยๆ เช่น 0.00001,0,0 เป็นต้น

     การคำนวณนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในงานวิศวกรรม เช่น การคำนวณเพื่อควบคุมการหล่อคานสะพานระบบ segmental box girder เป็นต้น

     link ไฟล์ตัวอย่างการคำนวณ >>> https://drive.google.com/file/d/1GVBesNL4mYGVSsm63b4btvsfbmgQa95x/view?usp=sharing

AutoCAD - ImageFrame - เส้นขอบรูปภาพ

Imageframe พารามิเตอร์

     โดยปกติเมื่อเราแทรกรูปภาพเข้าในแบบ  เราจะเห็นเส้นขอบของรูปด้วย ซึ่งบางครั้งเราไม่ต้องการจะ

แสดงเส้นขอบนี้  ค่าพารามิเตอร์ IMAGEFRAME เป็นตัวควบคุมการแสดงผลเส้นขอบนี้  ตั้งค่าเป็น 1 จะ

แสดงเส้นขอบ ตั้งค่า 0 จะไม่แสดงเส้นขอบ

ปัญหา ตั้งค่า IMAGEFRAME เป็น 0 แล้ว เส้นขอบไม่หายไป

     สาเหตุของปัญหานั้นไม่แน่ชัดว่าเกิดขึ้นได้อย่างไร แต่แนวทางแก้ไขมีดังต่อไปนี้

     1. ใน Model space ถ้าค่า IMAGEFRAME เป็น 0 อยู่  ให้เปลี่ยนกลับมาเป็น 1 ก่อน จากนั้นเปลี่ยน

เป็น 0 อีกครั้ง

     2. ถ้ารูปนั้นอยู่ในไฟล์ xref อีกทีหนึ่ง ให้ตามไปเปลี่ยนค่าในไฟล์ xref ด้วย

งานวิศวกรรมโครงสร้าง - ความรู้ทั่วไป - วัสดุโครงสร้าง

วัสดุที่นำมาทำโครงสร้าง

      โครงสร้างที่เราพบเห็นได้ทั่วไปมักจะทำมาจากวัสดุ เหล็กและคอนกรีต  ซึ่งก็มีให้เลือกใช้ทั้ง

โครงสร้างเหล็กล้วนๆ หรือเรียกว่าโครงสร้างเหล็กรูปพรรณ  และยังมีโครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็ก และ

โครงสร้างคอนกรีตอัดแรงให้เลือกใช้ โดยการเลือกใช้โครงสร้างแต่ละแบบนั้นก็ขึ้นอยู่กับความเหมาะสม

ซึ่งโครงสร้างแต่ละแบบจะมีข้อดีข้อเสียแตกต่างกันไป

 
      โครงสร้างเหล็ก มีข้อดีคือ เหล็กเป็นวัสดุที่มีกำลังมาก ทำให้ใช้ปริมาณวัสดุน้อย น้ำหนักโครงสร้าง

น้อย สามารถเชื่อมประกอบได้ น้ำหนักเบาจึงขนย้ายง่าย ก่อสร้างได้เร็วเพราะไม่ต้องรอเวลาเพื่อพัฒนา

กำลังเหมือนคอนกรีต  โครงสร้างเหล็กยังมีความเป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมมากกว่าคอนกรีต เพราะใน

กระบวนการผลิตเหล็กจะปล่อย Co2 น้อยกว่าการผลิตคอนกรีต ส่วนข้อเสียคือ เหล็กมีราคาแพง

   
     โครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็ก มีข้อดี คือ คอนกรีตเป็นวัสดุก่อสร้างที่มีราคาถูก เเต่เมื่อนำมาใช้งาน

เป็นโครงสร้างจำเป็นต้องนำเหล็กมาเสริมความแข็งแรง กลายเป็นคอนกรีตเสริมเหล็ก ซึ่งมีราคาต่ำ

โครงสร้างเหล็กมาก แต่มีข้อเสียคือ คอนกรีตเป็นวัสดุที่มีกำลังน้อย ทำให้ต้องใช้คอนกรีตปริมาณ

มากเพื่อทำเป็นโครงสร้างที่มีความแข็งแรง เป็นผลให้โครงสร้างมีน้ำหนักมากต้องการฐานรากขนาด

ใหญ่กว่า  และเนื่องจากน้ำหนักที่มากนี้เองทำให้ไม่สามารถทำโครงสร้างให้มีช่วงคานยาวมากๆได้ อีก

ทั้งในการก่อสร้างยังต้องการระบบนั่งร้านที่แข็งแรงจำนวนมากเพื่อรองรับน้ำหนักตอนคอนกรีตยังไม่แข็ง

ตัว เมื่อคอนกรีตแข็งตัวแล้วยังต้องรอระยะเวลาในการถอดแบบ ซึ่งทำให้การทำงานล่าช้ากว่าโครงสร้าง

เหล็ก


     โครงสร้างคอนกรีตอัดแรง  เทคนิคการอัดแรงในโครงสร้างช่วยให้เราใช้คุณสมบัติการรับกำลังอัด

ของคอนกรีตได้มากขึ้น การอัดแรงช่วยลดการแตกร้าวของหน้าตัดทำให้หน้าตัดคานคอนกรีตมี

ประสิทธิภาพสูงขึ้นกว่าคานคอนกรีตเสริมเหล็กธรรมดาประมาณ 2.0-2.8 เท่า ขึ้นกับปริมาณการอัดแรง

ซึ่งก็สามารถช่วยให้โครงสร้างคอนกรีตพัฒนาไปได้ไกลมากขึ้น ทุกวันนี้เราจะเห็นการใช้งานแผ่นพื้นอัด

แรงได้ทั่วไป รวมถึงคานสะพานคอนกรีตอัดแรงซึ่งมีให้เห็นตั้งแต่ช่วงสะพาน 10 ม. ถึง 100 ม.

   

กำลังของวัสดุ

เหล็กโครงสร้าง

     สำหรับเหล็กรูปพรรณ โดยทั่วไปมักใช้ เกรด SS400 เป็นเหล็กโครงสร้างเกรดธรรมดา Fy=235MPa 

,Fu=400MPa  จะสะดวกในการหาซื้อ  แต่หากเป็นเกรดที่สูงกว่ามักจะไม่มีสต็อกต้องสั่งผลิต

คอนกรีต

     เป็นที่ทราบกันดีว่าคอนกรีตมีคุณสมบัติเด่นด้านการรับแรงอัด ส่วนการรับแรงดึงนั้นรับได้น้อยโดยมี

ค่ากำลังรับแรงดึงประมาณ 10 % ของกำลังรับแรงอัด  ส่วนเหล็กมีคุณสมบัติด้านกำลังดี มีความแข็งแรง

ทั้งกำลังรับแรงดึงและกำลังรับแรงอัด

     โดยคอนกรีตที่ใช้โดยทั่วไปจะมีกำลังประมาณ 25-35 MPa สำหรับโครงสร้าง คสล. และมักจะใช้

กำลัง 35 MPa ขึ้นไป สำหรับคอนกรีตอัดแรง

เหล็กเสริมคอนกรีต

     ส่วนเหล็กเสริมคอนกรีตที่ใช้นั้นมีหลายเกรด ถ้าเป็นเหล็กข้ออ้อยส่วนใหญ่ มักใช้ เกรด SD40 และมี

บ้างที่ใช้ SD50  ซึ่งการใช้เหล็กที่มีกำลังสูงทำให้ประหยัดเนื่องใช้ปริมาณเหล็กน้อย

ลวดอัดแรง

     ส่วนทางด้านลวดอัดแรงที่ใช้ในงานคอนกรีตอัดแรงนั้น ก็มีหลายเกรดเช่นกัน แต่มักใช้เกรด 1860

Low Relaxation ซึ่งถ้าเทียบกำลังของลวดอัดแรงเกรด 1860 กับเหล็ก SD40 จะเห็นว่าลวดอัดแรงมี

กำลังสูงกว่าประมาณ 4 เท่า

ราคาของวัสดุ

     ราคาคอนกรีตถูกว่าเหล็กมาก โดยคอนกรีตมีราคาประมาณ 1800-2500 บาท/ลบ.ม. แล้วแต่กำลังและ

ส่วนผสม ซึ่งถ้าคิดเป็นราคาต่อกิโลกรัมจะมีค่า 1.8 - 2.5 บาท/กิโลกรัม  ส่วนราคาเหล็กนั้น ไม่ว่าจะเป็น

เหล็กรูปพรรณหรือเหล็กเสริมคอนกรีตราคาก็จะอยู่ที่ประมาณ 24 บาท/กิโลกรัม  หรือถ้าคิดเป็นราคาต่อ

ปริมาตร ราคาของเหล็กจะอยู่ที่ 188,496 บาท/ลบ.ม.  จะเห็นว่าราคาเหล็กสูงกว่า คอนกรีตประมาณ 10

เท่า

AutoCAD - Text Symbol

การแทรกสัญลักษณ์ลงในตัวอักษร

     หากเป็น MTEXT สามารถ คลิกขวาใน TEXT EDITOR เพื่อแทรกสัญลักษณ์ได้ทันที  แต่หากเป็น

DTEXT จะไม่มี OPTION ให้เราแทรกสัญลักษณ์ลงไปได้  ซึ่งหากจะแทรกสัญลักณ์ใน DTEXT เราต้อง

พิมพ์ CODE ลงไป เช่น \U+2104 จะได้สัญลักษณ์เส้นศูนย์กลาง (CL) เป็นต้น 


ลองดูตามลิ้งค์ Autodesk ได้ตามข้างล่างนี้

>>> Text Symbols and Special Characters Reference

>>>Control Codes and Special Characters Reference

AutoCAD - แก้ปัญหา Tool Bar หาย

การแก้ปัญหาเมื่อ Tool Bar หาย

     เมื่อเข้าโปรแกรมแล้วพบว่า แถบเครื่องมือหายไปหมด ตามภาพด้านล่าง

วิธีที่  1  โหลดเครื่องมือผ่านคำสั่ง CUILAOD

ให้ลองทำการแก้ไขโดย พิมพ์คำสั่ง CUILOAD  แล้วเลือกโหลดไฟล์ ACAD.CUIX  ดังแสดงตามภาพด้านล่าง

     เมื่อกด Load เรียบร้อยแล้ว ก็จะได้ แถบเครื่องมือกลับมาทั้งหมด แต่อาจจะต้องจัด Workspace ใหม่กันนิดหน่อย เพราะทุกอย่างจะกลับไปที่ค่าตั้งต้น

วิธีที่  2  ใช้โปรแกรม Reset to Default

     ให้ไป run โปรแกรม Reset to default ของ autocad โดยตัวโปรแกมจะอยู่ใน Directory ตามนี้ 

"C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\AutoCAD 2018 - English"

หรืออาจใช้วิธี search โปรแกรมจากปุ่มวินโดว์ปกติ